Механика · 10 класс · урок 10 из 10 · Мякишев, «Физика 10» (2019), гл. 2; Мякишев, «Механика 10» (профильный), гл. 1, § 11

Кинематика движения по окружности

Выход к заданиям: ЕГЭ №1, ЕГЭ №5, ЕГЭ №6, ЕГЭ №26

Сначала нужно знать: Скорость и ускорение как векторы, мгновенная скорость по касательной, радианная мера угла
Зачем этот урок: ЕГЭ №2, 5, 6: центростремительное ускорение, период, частота, угловая скорость, передачи
Дальше: Законы Ньютона: какая сила создаёт центростремительное ускорение

Кинематика · урок 10

Скорость постоянна по модулю, а ускорение есть

Равномерное движение по окружности

Тело движется по окружности так, что за любые равные промежутки времени проходит дуги одинаковой длины. Модуль скорости не меняется, меняется только её направление — скорость всё время идёт по касательной.

Раз меняется направление скорости, вектор $\vec{v}$ меняется, а значит, ускорение есть, хотя спидометр показывает одно и то же.

Тело считаем точкой: его размеры малы по сравнению с радиусом окружности.

Модуль ускорения: вывод

За малое время $\Delta t$ точка переходит из A в A₁, скорость $\vec{v}$ становится $\vec{v}_1$ , $|\vec{v}_1| = |\vec{v}|$ . Треугольник $OAA_1$ и треугольник скоростей — равнобедренные с равными углами при вершине (стороны взаимно перпендикулярны), значит, подобны:

\frac{|\Delta\vec{v}|}{v} = \frac{|\Delta\vec{r}|}{R}.

При малом

\Delta t

хорда равна дуге:

|\Delta\vec{r}| = v\Delta t

. Тогда

|\Delta\vec{v}| = \dfrac{v^2\Delta t}{R}

, и

a = \dfrac{|\Delta\vec{v}|}{\Delta t} = \dfrac{v^2}{R}

Центростремительное ускорение

a = \frac{v^2}{R}.

при $\Delta t \to 0$ угол между $\Delta\vec{v}$ и $\vec{v}$ стремится к $90°$ : ускорение перпендикулярно скорости и направлено к центру;
его называют центростремительным, или нормальным;
модуль ускорения постоянен, а направление всё время меняется — равномерное движение по окружности есть движение с переменным ускорением.

Угол поворота и угловая скорость

Положение точки на окружности задаёт угол $\varphi$ между осью $X$ и радиусом, проведённым к точке. Углы измеряют в радианах: $\varphi = \dfrac{l}{R}$ , где $l$ — длина дуги.

Угловая скорость — отношение угла поворота радиуса к времени поворота:

\omega = \frac{\Delta\varphi}{\Delta t}, \qquad \varphi = \varphi_0 + \omega t.

Единица — радиан в секунду, рад/с. Угловая скорость точки на поверхности Земли —

0{,}0000727

рад/с, точильного диска — больше

100

рад/с.

Период и частота

Период $T$ — время одного полного оборота, с;
частота $\nu$ — число оборотов за секунду, об/с или с⁻¹; $\;T = \dfrac{1}{\nu}$ ;
за период радиус поворачивается на $2\pi$ : $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi\nu$ .

Секундная стрелка:

T = 60

с,

\nu = \dfrac{1}{60}

с⁻¹,

\omega = \dfrac{\pi}{30}

рад/с.

Линейная и угловая скорость

За время $\Delta t$ точка проходит дугу $s = R\,\Delta\varphi$ . Делим на $\Delta t$ :

v = \omega R = \frac{2\pi R}{T}, \qquad a = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R = \frac{4\pi^2 R}{T^2}.

точки одного вращающегося тела имеют одинаковую угловую скорость, а линейная тем больше, чем дальше точка от оси;
ремённая или зубчатая передача без проскальзывания: одинаковы линейные скорости ободов, а угловые обратно пропорциональны радиусам, $\omega_1 R_1 = \omega_2 R_2$ .

Неравномерное движение: касательное и нормальное ускорения

Если модуль скорости при движении по кривой тоже меняется, полное ускорение раскладывают на две составляющие (Мякишев, «Механика 10», § 1.27):

a_\tau = \frac{\Delta v}{\Delta t}, \qquad a_n = \frac{v^2}{R}, \qquad a = \sqrt{a_\tau^2 + a_n^2}.

касательное $a_\tau$ направлено по скорости (разгон) или против неё (торможение) и меняет модуль скорости;
нормальное $a_n$ направлено к центру кривизны и меняет направление скорости;
полное ускорение направлено внутрь кривой.

ОпытСкорость и ускорение на окружности

Радиус $1{,}5$ м, угловая скорость $2$ рад/с.
До пуска посчитай: $v = \omega R$ и $a = \omega^2 R$ . Сверь с показаниями.
Увеличь радиус вдвое, не меняя $\omega$ : во сколько раз выросли $v$ и $a$ ?
Посмотри на график проекции $x(t)$ : тень точки на ось колеблется — это связь с колебаниями.

При той же угловой скорости и вдвое большем радиусе и скорость, и ускорение вырастают вдвое.

ФизЛаб · Движение по окружностиR = 1,5 м, ω = 2 рад/сmatfizliga.ru/fizlab/#circle?R=1.5&om=2&proj=1

ЕГЭ, кинематикаПример 1

Велосипедист едет по кольцевому велотреку диаметром

200

м с постоянной по модулю скоростью. За минуту он проезжает путь, равный трём диаметрам трека. Чему равен модуль ускорения велосипедиста? Ответ выразите в м/с².

Скорость: $v = \dfrac{s}{t} = \dfrac{3 \cdot 200}{60} = 10$ м/с.
Радиус трека $R = 100$ м. Скорость постоянна по модулю — ускорение только центростремительное: $a = \dfrac{v^2}{R} = \dfrac{100}{100} = 1$ м/с².

Ответ: 1

ЕГЭ, задание 2Пример 2

Два вала соединены ремнём, который не проскальзывает. Радиус первого вала

R

, второго

2R

. Угловая скорость первого вала

\omega

. Чему равна угловая скорость точки A второго вала (точка на расстоянии

R

от оси)? 1)

\omega/4

; 2)

\omega/2

; 3)

\omega

; 4)

2\omega

Ремень не проскальзывает — линейные скорости ободов одинаковы: $\omega R = \omega_2 \cdot 2R$ , откуда $\omega_2 = \dfrac{\omega}{2}$ .
Все точки второго вала вращаются с одной угловой скоростью — и точка A тоже, хотя её линейная скорость вдвое меньше, чем у обода.
Ответ — вариант 2.

Ответ: 2

ЕГЭ, кинематикаПример 3

Точечное тело движется по окружности так, что модуль его скорости за любую секунду возрастает на

0{,}5

м/с. В некоторый момент скорость была

2

м/с. Через какое время после этого центростремительное ускорение возрастёт в

4

раза? Ответ дайте в секундах.

$a_n = \dfrac{v^2}{R}$ : при том же радиусе вырасти вчетверо оно может, только если скорость вырастет вдвое — до $4$ м/с.
Касательное ускорение $0{,}5$ м/с²: $v = 2 + 0{,}5t = 4$ , откуда $t = 4$ с.

Ответ: 4

ЕГЭ, задание 6Пример 4

Материальная точка движется по окружности радиусом

R

с постоянной линейной скоростью

v

. Установите соответствие: А) частота обращения; Б) угловая скорость — и формулы: 1)

\dfrac{v}{2\pi R}

; 2)

\dfrac{v^2}{R}

; 3)

\dfrac{2\pi R}{v}

; 4)

\dfrac{v}{R}

Период — время оборота: $T = \dfrac{2\pi R}{v}$ (это формула 3, но спрашивают частоту). Частота $\nu = \dfrac{1}{T} = \dfrac{v}{2\pi R}$ — формула 1.
Угловая скорость из $v = \omega R$ : $\omega = \dfrac{v}{R}$ — формула 4. Формула 2 — центростремительное ускорение.

Ответ: 14

Мякишев, § 11Пример 5

Шкив диаметром

16

см делает

300

оборотов за

3

мин. Найдите частоту обращения и скорость точек обода.

$\nu = \dfrac{N}{t} = \dfrac{300}{180} \approx 1{,}67$ об/с.
$v = \omega R = 2\pi\nu R = \pi d\nu = 3{,}14 \cdot 0{,}16 \cdot 1{,}67 \approx 0{,}84$ м/с.

Ответ: $\approx 1{,}67$ об/с; $\approx 0{,}84$ м/с

Главное

При равномерном движении по окружности скорость постоянна по модулю, ускорение направлено к центру: $a = \dfrac{v^2}{R}$ .
$\omega = \dfrac{\Delta\varphi}{\Delta t} = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi\nu$ ; $\;v = \omega R$ ; $\;a = \omega^2 R$ .
Точки одного тела — одна $\omega$ ; ремень и шестерни — одна $v$ на ободах.
Неравномерно по кривой: $a = \sqrt{a_\tau^2 + a_n^2}$ , $a_\tau$ меняет модуль скорости, $a_n$ — направление.

Кинематика движения по окружности

Все уроки станции «Кинематика»