Движение тела, брошенного под углом к горизонту

По горизонтали ускорения нет — движение равномерное; по вертикали — равноускоренное с $a_y = -g$:

Исключим время: из первого уравнения $t = \dfrac{x}{v_0\cos\alpha}$, подставим во второе:

• это квадратичная функция $y = ax^2 + bx + c$ с $a < 0$ — парабола ветвями вниз;
• вершина параболы — наивысшая точка подъёма;
• с учётом сопротивления воздуха траектория уже не парабола: спуск круче подъёма.

В наивысшей точке скорость горизонтальна: $v_y = 0$, отсюда время подъёма. Если тело брошено с земли ($h = 0$), время полёта найдём из $y = 0$:

• при данной скорости дальность наибольшая, когда $\sin 2\alpha = 1$, то есть при $\alpha = 45°$;
• углы, дополняющие друг друга до $90°$ ($30°$ и $60°$), дают одинаковую дальность: $\sin 60° = \sin 120°$;
• высота растёт с углом и пропорциональна квадрату начальной скорости;
• в воздухе наибольшая дальность достигается при меньших углах — у пули калибра $7{,}62$ мм около $35°$.

• $\beta$ — угол скорости с горизонтом; скорость всегда направлена по касательной к траектории;
• в наивысшей точке $v_y = 0$: скорость наименьшая и равна $v_0\cos\alpha$, ускорение — $g$ вниз, перпендикулярно скорости;
• при $h = 0$ тело падает на землю с той же по модулю скоростью $v_0$ и под тем же углом $\alpha$.

Частный случай $\alpha = 0$: $v_{0x} = v_0$, $v_{0y} = 0$. Вертикальное движение — свободное падение с высоты $h$ без начальной скорости:

1. $v_{0x} = 10\cos 30° = 5\sqrt{3} \approx 8{,}7$ м/с, $v_{0y} = 10\sin 30° = 5$ м/с.
2. Высота: $H = \dfrac{v_{0y}^2}{2g} = \dfrac{25}{20} = 1{,}25$ м.
3. Время полёта: $t = \dfrac{2v_{0y}}{g} = 1$ с.
4. Дальность: $L = v_{0x}t = 5\sqrt{3} \approx 8{,}7$ м.

1. Время полёта $t = \dfrac{2v_0\sin\alpha}{g}$: $\sin 30° > \sin 20°$ — время увеличится (1).
2. Дальность $L = \dfrac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}$: $\sin 60° > \sin 40°$ — дальность увеличится (1).
3. Ответ записываем в порядке «дальность, время».

1. Время полёта определяется падением с высоты $H$: $t = \sqrt{\dfrac{2H}{g}}$ — от $v_0$ не зависит (3).
2. Ускорение при любом броске — ускорение свободного падения $g$ (3).
3. Изменится только дальность $L = v_0 t$ — она вырастет.

1. Верх забора — вершина траектории: там $v_y = 0$. Подъём на $H - h = 3{,}2$ м даёт вертикальную составляющую: $v_{0y} = \sqrt{2g(H - h)} = \sqrt{64} = 8$ м/с.
2. Время подъёма $t = \dfrac{v_{0y}}{g} = 0{,}8$ с; за это время мяч должен пролететь по горизонтали $l$: $v_{0x} = \dfrac{l}{t} = \dfrac{6{,}4}{0{,}8} = 8$ м/с.
3. $v_0 = \sqrt{v_{0x}^2 + v_{0y}^2} = 8\sqrt{2} \approx 11{,}3$ м/с, под углом $45°$ к горизонту.

• Движение раскладывают на равномерное по горизонтали и свободное падение по вертикали.
• $x = v_0\cos\alpha\, t$, $y = h + v_0\sin\alpha\, t - \dfrac{gt^2}{2}$; траектория — парабола.
• С земли: $t_{\text{пол}} = \dfrac{2v_0\sin\alpha}{g}$, $L = \dfrac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}$, $H = \dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}$.
• Дальность максимальна при $45°$; углы $\alpha$ и $90° - \alpha$ дают одну дальность.
• Горизонтальный бросок: время полёта как у свободного падения с той же высоты.