Механика · 10 класс · урок 4 из 10 · Мякишев, «Физика 10» (2019), гл. 2; Мякишев, «Механика 10» (профильный), гл. 1, § 6

Средняя и мгновенная скорость

Выход к заданиям: ЕГЭ №1, ЕГЭ №5, ЕГЭ №6, ЕГЭ №26

Сначала нужно знать: Равномерное движение, перемещение и путь
Зачем этот урок: ЕГЭ №1: средняя скорость по графику и по участкам пути; скорость в данный момент — наклон касательной
Дальше: Ускорение. Равноускоренное движение

Кинематика · урок 4

Как описать движение, когда скорость меняется

Движение на плоскости

Лодка на реке, мяч на поле, самолёт в небе движутся не по одной прямой. Положение тела на плоскости задаёт радиус-вектор, а за время движения он меняется на перемещение:

\vec{r} = \vec{r}_0 + \Delta\vec{r} \quad\Longleftrightarrow\quad x = x_0 + \Delta x, \quad y = y_0 + \Delta y.

Векторное равенство на плоскости — это два равенства для проекций. Так в кинематике поступают всегда: одна векторная формула — две (или три) скалярные.

Скорость — вектор

Ни одно тело не движется всё время с постоянной скоростью: автомобиль трогается, разгоняется, тормозит у светофора. За одинаковые промежутки времени он проходит разные расстояния.

Скорость характеризует не только быстроту, но и направление движения. Направление движения тела в данный момент — это направление его скорости.

Для неравномерного движения вводят две величины: среднюю скорость и мгновенную.

Средняя скорость

Средняя скорость — отношение перемещения тела к промежутку времени, за который оно произошло:

\vec{v}_{\text{ср}} = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}.

это вектор, направленный так же, как перемещение;
автомобиль, вернувшийся вечером в гараж, имеет за день нулевое перемещение — и нулевую среднюю скорость, хотя проехал сотни километров;
поэтому для расписаний и путевых расчётов нужна другая величина — средняя путевая скорость.

Средняя путевая скорость

Средняя путевая скорость — отношение всего пройденного пути ко всему времени движения:

v_{\text{ср. п}} = \frac{s}{t}.

это скаляр, он не бывает отрицательным;
поезд идёт от Москвы до Тулы ( $\approx 180$ км) за $3$ ч: $v_{\text{ср. п}} = 60$ км/ч, хотя у станций он тормозил до нуля, а на перегонах ехал быстрее;
«средняя скорость» в бытовом смысле и в задачах ЕГЭ про путь — это именно путевая.

Средняя скорость — не среднее арифметическое

Половину пути $\dfrac{s}{2}$ автомобиль ехал со скоростью $v_1$ , половину — со скоростью $v_2$ . Время на участках $t_1 = \dfrac{s}{2v_1}$ , $t_2 = \dfrac{s}{2v_2}$ .

v_{\text{ср}} = \frac{s}{t_1 + t_2} = \frac{s}{\dfrac{s}{2v_1} + \dfrac{s}{2v_2}} = \frac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2}.

$60$ км/ч и $20$ км/ч по половинам пути дают $\dfrac{2 \cdot 60 \cdot 20}{80} = 30$ км/ч, а не $40$ : на медленном участке тело провело втрое больше времени;
если же половину времени ехали $v_1$ , а половину $v_2$ , то $v_{\text{ср}} = \dfrac{v_1 \frac{t}{2} + v_2 \frac{t}{2}}{t} = \dfrac{v_1 + v_2}{2}$ — тогда среднее арифметическое верно.

Мгновенная скорость

Будем уменьшать промежуток $\Delta t$ . Перемещения $\Delta\vec{r}_3, \Delta\vec{r}_2, \Delta\vec{r}_1$ укорачиваются и поворачиваются, а отношение $\dfrac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}$ стремится к определённому пределу.

Мгновенная скорость — предел средней скорости при $\Delta t \to 0$ :

\vec{v} = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}, \quad \Delta t \to 0.

Мгновенная скорость направлена по касательной к траектории. Искры от точильного круга и брызги с колеса летят по касательной — по той скорости, что была в момент отрыва.

Мгновенная скорость по графику x(t)

При прямолинейном движении мгновенная скорость — это наклон касательной к графику $x(t)$ в данной точке: $v_x = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$ , где $\Delta x$ и $\Delta t$ берут по касательной.

Касательная идёт вверх — $v_x > 0$ , вниз — $v_x < 0$ , горизонтальна — тело в этот момент остановилось.

Спидометр автомобиля показывает модуль мгновенной скорости.

ОпытСкорость — наклон касательной

Тележка выезжает со скоростью $12$ м/с и тормозит.
Пусти опыт и следи за касательной на графике $x(t)$ : где она круче, где горизонтальна?
Останови в момент, когда касательная горизонтальна. Сколько показывает $v$ ? Сравни с расчётом $t = \dfrac{v_0}{|a|}$ .

Касательная сама переходит с зелёного цвета на красный: проекция скорости сменила знак, тележка поехала назад.

ФизЛаб · Графики движенияv₀ = 12 м/с, a = −2 м/с², касательная включенаmatfizliga.ru/fizlab/#kin?x0=0&v0=12&a=-2&tan=1

ЕГЭ, задание 1Пример 1

Велосипедист, двигаясь под уклон, проехал расстояние между двумя пунктами со скоростью

15

км/ч. Обратно он ехал вдвое медленнее. Какова средняя путевая скорость на всём пути? Ответ дайте в километрах в час.

Обозначим расстояние $L$ . Туда: $t_1 = \dfrac{L}{15}$ , обратно со скоростью $7{,}5$ км/ч: $t_2 = \dfrac{L}{7{,}5} = \dfrac{2L}{15}$ .
Весь путь $2L$ , всё время $\dfrac{3L}{15} = \dfrac{L}{5}$ .
$v_{\text{ср}} = \dfrac{2L}{L/5} = 10$ км/ч. Средняя скорость по перемещению здесь равна нулю — велосипедист вернулся.

Ответ: 10

ЕГЭ, задание 1Пример 2

На рисунке — график зависимости модуля скорости

v

прямолинейно движущегося тела от времени. Найдите среднюю скорость тела за время от

0

до

10

с. Ответ запишите в метрах в секунду.

Путь — площадь под графиком модуля скорости. От $0$ до $4$ с треугольник: $\dfrac{4 \cdot 15}{2} = 30$ м; от $4$ до $10$ с прямоугольник: $6 \cdot 15 = 90$ м.
Всего $s = 120$ м за $10$ с.
$v_{\text{ср}} = \dfrac{120}{10} = 12$ м/с.

Ответ: 12

ЕГЭ, задание 1Пример 3

На рисунке — график движения автобуса из пункта A (

x = 0

) в пункт Б (

x = 30

км) и обратно. Чему равна максимальная скорость автобуса на всём пути туда и обратно? Ответ дайте в километрах в час.

Оба участка графика — отрезки прямых: на каждом скорость постоянна и равна наклону.
Туда: $30$ км за $0{,}5$ ч, $v_1 = 60$ км/ч. Обратно: $30$ км за $1{,}1 - 0{,}5 = 0{,}6$ ч, $v_2 = 50$ км/ч.
Круче участок «туда» — на нём скорость наибольшая.

Ответ: 60

Главное

Средняя скорость — вектор $\dfrac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}$ , средняя путевая — скаляр $\dfrac{s}{t}$ .
Средняя путевая скорость — весь путь на всё время, а не среднее арифметическое скоростей.
По половинам пути: $v_{\text{ср}} = \dfrac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$ ; по половинам времени: $\dfrac{v_1 + v_2}{2}$ .
Мгновенная скорость — предел средней при $\Delta t \to 0$ , направлена по касательной к траектории.
На графике $x(t)$ мгновенная скорость — наклон касательной.

Средняя и мгновенная скорость

Все уроки станции «Кинематика»