Механика · 10 класс · урок 2 из 10 · Мякишев, «Физика 10» (2019), гл. 2; Мякишев, «Механика 10» (профильный), гл. 1, § 4

Перемещение. Векторы и их проекции

Выход к заданиям: ЕГЭ №1, ЕГЭ №5, ЕГЭ №6, ЕГЭ №26

Сначала нужно знать: Система отсчёта, координата, теорема Пифагора, синус и косинус острого угла
Зачем этот урок: Язык всей механики: скорость, ускорение, сила — векторы, и задачи решают в проекциях; ЕГЭ №1
Дальше: Равномерное прямолинейное движение

Кинематика · урок 2

Путь и перемещение — не одно и то же

Скалярные и векторные величины

Одни величины полностью задаются числом: масса $2$ кг, время $5$ с, температура $20$ °C. Их называют скалярными (скалярами).

Другие, кроме числа, имеют направление: шаг вперёд и шаг назад — разные шаги, хотя длина одна. Такие величины называют векторными и изображают направленным отрезком — стрелкой.

Длину вектора называют его модулем: $|\vec{a}| = a$ . Модуль — всегда неотрицательное число.

Перемещение

Перемещение $\Delta\vec{r}$ — направленный отрезок, проведённый из начального положения тела в конечное.

Путь $s$ — длина участка траектории, пройденного за то же время. Путь — скаляр, он не бывает отрицательным и с движением только растёт.

Путь равен модулю перемещения только при движении по прямой в одну сторону. Во всех остальных случаях $s > |\Delta\vec{r}|$ .

Путь и перемещение: три случая

Тело прошло полный круг радиусом $R$ : путь $s = 2\pi R$ , перемещение $|\Delta\vec{r}| = 0$ — тело вернулось в начальную точку.
Полкруга: путь $\pi R$ , перемещение — диаметр, $2R$ .
Мяч подбросили на высоту $h$ и поймали в той же точке: путь $2h$ , перемещение $0$ .
Автомобиль за день проехал $300$ км и вернулся в гараж: путь $300$ км по счётчику, перемещение — ноль.

В задачах всегда смотри, что спрашивают — путь или перемещение. Это разные ответы.

Радиус-вектор

Положение точки A на плоскости удобно задать вектором, проведённым из начала координат O в эту точку. Его называют радиус-вектором $\vec{r}$ .

Модуль радиус-вектора — расстояние от начала координат до точки, а его проекции на оси — координаты точки: $r_x = x$ , $r_y = y$ .

По теореме Пифагора $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ .

Проекции вектора на оси

Опустим перпендикуляры из начала и конца вектора $\vec{a}$ на ось. Отрезок между основаниями перпендикуляров, взятый со знаком, — проекция вектора на ось.

Знак «плюс», если от проекции начала к проекции конца идём по направлению оси, «минус» — если против.

a_x = a\cos\alpha, \qquad a_y = a\sin\alpha,

\alpha

— угол между вектором и осью

x

. Вектор, перпендикулярный оси, даёт на неё нулевую проекцию.

Проекции перемещения — изменения координат

Тело перешло из точки $(x_1;\,y_1)$ в точку $(x_2;\,y_2)$ . Проекции перемещения на оси — это изменения координат:

\Delta r_x = \Delta x = x_2 - x_1, \qquad \Delta r_y = \Delta y = y_2 - y_1.

модуль перемещения: $|\Delta\vec{r}| = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$ ;
направление: $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ ;
изменение любой величины — разность «конец минус начало», поэтому оно бывает и отрицательным.

Сложение векторов

Два перемещения подряд — $\vec{a}$ , затем $\vec{b}$ — дают одно перемещение $\vec{c}$ из начала первого в конец второго. Это правило треугольника: $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ .

То же даёт правило параллелограмма: векторы откладывают от одной точки, сумма — диагональ.

В проекциях складывать проще: $c_x = a_x + b_x$ , $c_y = a_y + b_y$ . Модули так складывать нельзя: $c \ne a + b$ , если векторы не сонаправлены.

Положение тела в любой момент

Зная начальное положение $\vec{r}_0$ и перемещение $\Delta\vec{r}$ , находим, где тело сейчас:

\vec{r} = \vec{r}_0 + \Delta\vec{r}, \qquad x = x_0 + \Delta x, \quad y = y_0 + \Delta y.

Это равенство верно для любого движения — прямолинейного и криволинейного, равномерного и неравномерного. Вся кинематика дальше — это способы найти

\Delta x

\Delta y

ОпытРазложи вектор на проекции

Тяни мышью или пальцем две составляющие вдоль осей, пока прямоугольник не замкнётся на стрелке.
Посмотри на знаки: какие проекции вышли отрицательными и почему?
Нажми «Наклонные оси (склон)»: тот же вектор, но оси повёрнуты на $30°$ — проекции стали другими.

Проекции зависят от выбора осей, сам вектор — нет. В динамике оси наклоняют вдоль склона именно поэтому.

ФизЛаб · Проекции вектораalpha = 30matfizliga.ru/fizlab/#vecproj?alpha=30

ЕГЭ, задание 1Пример 1

Турист прошёл

6

км на север и затем

8

км на запад. Чему равен модуль полного перемещения туриста? Ответ дайте в километрах.

Два перемещения взаимно перпендикулярны: на север и на запад. Полное перемещение — их векторная сумма, гипотенуза прямоугольного треугольника.
$|\Delta\vec{r}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$ км.
Путь туриста $6 + 8 = 14$ км — больше модуля перемещения, как и должно быть.

Ответ: 10

ОГЭ, механикаПример 2

На рисунке — график зависимости координаты

y

от времени для тела, брошенного с высоты

10

м вертикально вверх. Чему равны путь

L

и модуль перемещения

S

тела к моменту

t = 4

с? 1)

L = 50

м,

S = 40

м; 2)

L = 40

м,

S = 50

м; 3)

L = 60

м,

S = 50

м; 4)

L = 50

м,

S = 60

м.

По графику: в начале $y = 10$ м, наивысшая точка $y = 55$ м при $t = 3$ с, при $t = 4$ с $y = 50$ м.
Перемещение — разность конечной и начальной координат: $S = 50 - 10 = 40$ м.
Путь — сумма длин участков: вверх $55 - 10 = 45$ м и вниз $55 - 50 = 5$ м, всего $L = 50$ м.

Ответ: 1

Мякишев, § 4Пример 3

Проекции вектора

\vec{r}

на оси

X

Y

равны

r_x = -2

см,

r_y = 0

. Найдите модуль и направление вектора.

$r = \sqrt{r_x^2 + r_y^2} = \sqrt{4 + 0} = 2$ см.
Проекция на $Y$ равна нулю — вектор перпендикулярен оси $Y$ , то есть лежит вдоль оси $X$ .
Проекция на $X$ отрицательна — вектор направлен против оси $X$ .

Ответ: $2$ см, против оси $X$

Главное

Перемещение — вектор из начального положения в конечное; путь — длина траектории, скаляр, только растёт.
$s \ge |\Delta\vec{r}|$ , равенство — только при движении по прямой в одну сторону.
Проекция вектора: $a_x = a\cos\alpha$ ; знак — по направлению оси.
Проекции перемещения — изменения координат: $\Delta x = x_2 - x_1$ ; модуль $\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ .
Векторы складывают по правилу треугольника или в проекциях, модули — нельзя.

Перемещение. Векторы и их проекции

Все уроки станции «Кинематика»