Относительность движения. Сложение скоростей

Пассажир выпускает из рук мяч в равномерно идущем вагоне. Сам пассажир видит: мяч падает вертикально вниз и ударяется о пол под рукой.

Наблюдатель на платформе (представим, что стены вагона прозрачны) видит другое: мяч летит по параболе и падает на пол со скоростью, направленной под углом к горизонту.

Траектория, координаты, перемещение, путь и скорость при переходе к другой системе отсчёта меняются. В этом и состоит относительность механического движения.

Задачу можно решать в любой системе отсчёта, но в одной движение выглядит проще, чем в другой.

• стыковку космических кораблей рассматривают в системе отсчёта, связанной с одним из кораблей;
• вывод корабля на орбиту — в системе, связанной с Землёй;
• полёт межпланетной станции — в системе, связанной с Солнцем: начало в его центре, оси направлены на далёкие звёзды;
• две машины на шоссе — часто удобнее «сесть» в одну из них и смотреть, как движется вторая.

Система $K_1$ движется относительно системы $K$ равномерно и прямолинейно со скоростью $\vec{u}$ вдоль оси $X$; в момент $t = 0$ начала координат совпадали. За время $t$ начало $O_1$ сместилось на $\vec{u}t$, поэтому радиус-векторы точки в двух системах связаны так:

За малое время $\Delta t$ перемещения в двух системах связаны так: $\Delta\vec{r} = \Delta\vec{r}_1 + \vec{u}\,\Delta t$. Делим на $\Delta t$:

• $\vec{v}$ — скорость тела относительно «неподвижной» системы — абсолютная;
• $\vec{v}_1$ — относительно подвижной — относительная;
• $\vec{u}$ — скорость подвижной системы — переносная;
• абсолютная скорость равна векторной сумме относительной и переносной.

Скорость тела 1 относительно тела 2 — это скорость тела 1 в системе отсчёта, связанной с телом 2:

• навстречу друг другу: модуль относительной скорости — сумма модулей скоростей, $v_1 + v_2$;
• вдогонку в одном направлении — разность, $|v_1 - v_2|$;
• под углом — по теореме косинусов или в проекциях.

• Быстрее всего переплыть — держать курс перпендикулярно берегу: время $t = \dfrac{d}{v'}$, где $d$ — ширина реки. Течение снесёт лодку на $ut$, но на время не повлияет.
• Кратчайший путь — перпендикулярно берегу относительно земли: курс направляют против течения так, чтобы снос гасился, $v'\sin\beta = u$. Скорость относительно берега $\sqrt{v'^2 - u^2}$; это возможно, только если $v' > u$.
• Плот и лодка в одной реке: относительно воды всё как в стоячем озере — течение одинаково сносит и лодку, и плот.

1. Скорость относительно берега — сумма скорости относительно воды и скорости воды: $\vec{v} = \vec{v}_1 + \vec{u}$.
2. Векторы сонаправлены: $v = 0{,}4 + 0{,}3 = 0{,}7$ м/с.

1. Ось — по движению мотоцикла: $v_{1x} = 50$ км/ч, $v_{2x} = -70$ км/ч.
2. $v_{12x} = v_{1x} - v_{2x} = 50 - (-70) = 120$ км/ч.
3. Навстречу — модули складываются. Водитель автомобиля видит мотоцикл, летящий на него со скоростью $120$ км/ч.

1. Закон сложения: $\vec{v}_{\text{бер}} = \vec{v}_{\text{вода}} + \vec{u}$, откуда $\vec{v}_{\text{вода}} = \vec{v}_{\text{бер}} - \vec{u}$.
2. $\vec{v}_{\text{бер}}$ перпендикулярна течению, значит катер должен держать курс против течения так, чтобы гасить снос: векторы образуют прямоугольный треугольник.
3. $v_{\text{вода}} = \sqrt{6^2 + 4{,}5^2} = \sqrt{56{,}25} = 7{,}5$ км/ч.

1. Переводим в СИ: $54$ км/ч $= \dfrac{54}{3{,}6} = 15$ м/с.
2. Пассажир идёт в ту же сторону, куда едет автобус: $v = 15 + 0{,}6 = 15{,}6$ м/с.

• Траектория, путь, перемещение и скорость зависят от системы отсчёта; время в классической механике — нет.
• Преобразования Галилея: $x = x_1 + ut$, $t = t_1$.
• $\vec{v} = \vec{v}_1 + \vec{u}$: абсолютная = относительная + переносная.
• Скорость тела 1 относительно тела 2: $\vec{v}_1 - \vec{v}_2$; навстречу — сумма модулей, вдогонку — разность.
• Скорости складывают векторно: поперёк реки — по теореме Пифагора.