Графики равноускоренного движения

При равноускоренном движении $a_x = \text{const}$ — график $a_x(t)$ — горизонтальная прямая, выше оси времени или ниже.

Площадь под ним равна $a_x t = \Delta v_x$ — изменению проекции скорости. Площадь ниже оси — со знаком минус.

На рисунке за первые $4$ с проекция скорости выросла на $8$ м/с, за следующие $4$ с — уменьшилась на $6$ м/с.

$v_x = v_{0x} + a_x t$ — линейная функция: график — прямая, её наклон равен $a_x$, отрезок на оси $v_x$ — начальная скорость $v_{0x}$.

Прямая 1: $v_{0x} = 2$ м/с, $a_x = 1$ м/с² — разгон по оси. Прямая 2: $v_{0x} = 8$ м/с, $a_x = -2$ м/с² — торможение.

Где график пересекает ось времени, тело останавливается и дальше движется в обратную сторону: прямая 2 при $t = 4$ с.

• изменение координаты $\Delta x$ — алгебраическая сумма площадей: выше оси со знаком плюс, ниже — минус;
• путь $s$ — сумма площадей без знаков;
• здесь за $7$ с: $\Delta x = 16 - 9 = 7$ м, а путь $s = 16 + 9 = 25$ м. Если тело не разворачивалось, путь равен модулю $\Delta x$.

• $x = x_0 + v_{0x}t + \dfrac{a_xt^2}{2}$ — квадратичная функция, график — парабола;
• ветви вверх — $a_x > 0$, ветви вниз — $a_x < 0$;
• наклон касательной — мгновенная скорость; в вершине касательная горизонтальна — тело остановилось и разворачивается;
• здесь $x = 8t - t^2$: $v_{0x} = 8$ м/с, $a_x = -2$ м/с², разворот при $t = 4$ с в точке $16$ м.

1. На этом интервале график — отрезок прямой: ускорение постоянно и равно наклону.
2. По графику $v_x(0{,}5) = 0$, $v_x(1) = 6$ м/с.
3. $a_x = \dfrac{6 - 0}{1 - 0{,}5} = 12$ м/с². Знак плюс: проекция скорости растёт.

1. До $t = 3$ с проекция скорости положительна, после — отрицательна: в момент $3$ с тело развернулось. Путь считаем по участкам.
2. От $0$ до $3$ с треугольник над осью: $\dfrac{3 \cdot 15}{2} = 22{,}5$ м.
3. От $3$ до $5$ с треугольник под осью: $\dfrac{2 \cdot 10}{2} = 10$ м. Путь — сумма модулей: $s = 32{,}5$ м.
4. Для сравнения: изменение координаты $22{,}5 - 10 = 12{,}5$ м.

1. Без начальной скорости и из начала координат: $x = \dfrac{a_xt^2}{2}$.
2. По графику $x(2) = 4$ м, откуда $a_x = \dfrac{2x}{t^2} = \dfrac{8}{4} = 2$ м/с². Проверка по другой точке: $x(3) = \dfrac{2 \cdot 9}{2} = 9$ м — на графике тоже $9$.
3. $v_x(3) = a_x t = 2 \cdot 3 = 6$ м/с.

1. От $0$ до $10$ с ускорение $2$ м/с²: скорость к моменту $10$ с — площадь под графиком, $v = 2 \cdot 10 = 20$ м/с.
2. Дальше ускорение $-2$ м/с²: автомобиль тормозит и остановился бы через $10$ с. За $5$ с он ещё не остановился — путь равен изменению координаты.
3. $s = v t + \dfrac{a_xt^2}{2} = 20 \cdot 5 - \dfrac{2 \cdot 25}{2} = 75$ м.