Свободное падение

Аристотель учил: тяжёлое падает быстрее лёгкого. Галилей проверил это опытом. Падение слишком быстрое, чтобы измерить его часами XVII века, — и Галилей «замедлил» его, скатывая шары по наклонному жёлобу.

Шары одного диаметра из дерева, золота и слоновой кости катились с одинаковым ускорением. С ростом наклона ускорение росло, но оставалось одинаковым для всех шаров. Вертикальный жёлоб — это уже свободное падение.

Вывод: тела независимо от массы падают с одинаковым ускорением, если можно пренебречь сопротивлением воздуха.

В стеклянной трубке лежат дробинка, кусочек пробки и пушинка. Переворачиваем трубку: первой падает дробинка, за ней пробка, медленнее всех — пушинка.

Откачиваем из трубки воздух и переворачиваем снова: пушинка падает, не отставая от дробинки.

Разницу создавало сопротивление воздуха. Когда на тела действует только притяжение Земли, они падают одинаково.

Ускорение, которое Земля сообщает всем телам, называют ускорением свободного падения и обозначают $\vec{g}$. Оно направлено вертикально вниз.

• в одном месте Земли $g$ одинаково для всех тел; от широты оно немного меняется — у полюса больше, у экватора меньше;
• свободное падение — не обязательно движение вниз: тело, брошенное вверх, тоже падает свободно, просто сначала летит вверх и замедляется;
• все формулы равноускоренного движения работают с $a_y = \pm g$ — знак зависит от направления оси.

• ось вниз: $a_y = g$, $v_y > 0$ при падении, $y = \dfrac{gt^2}{2}$ — координата растёт;
• ось вверх, начало на земле: $a_y = -g$, $v_y < 0$ при падении, $y = h - \dfrac{gt^2}{2}$;
• в обоих случаях модуль скорости и время падения одни и те же — от выбора оси зависят только знаки проекций.

Ось $y$ вверх, начало — в точке броска: $v_y = v_0 - gt$, $y = v_0t - \dfrac{gt^2}{2}$.

• в высшей точке $v_y = 0$ — отсюда время подъёма; высоту даёт формула без времени $0 - v_0^2 = -2gh$;
• время подъёма равно времени падения обратно, и в точку броска тело возвращается с той же по модулю скоростью $v_0$;
• в высшей точке скорость равна нулю, а ускорение — по-прежнему $g$: оно не исчезает ни на миг.

• $y(t)$ — парабола ветвями вниз, вершина в момент $t = 2$ с на высоте $20$ м;
• $v_y(t)$ — прямая с наклоном $-g$: проходит через нуль в высшей точке и становится отрицательной;
• $a_y(t)$ — горизонталь $-10$ м/с² на всём полёте.

1. Ось вверх: $v = v_0 - gt$. За $0{,}5$ с тело ещё летит вверх: $20$ м/с — скорость на подъёме.
2. $v_0 = v + gt = 20 + 10 \cdot 0{,}5 = 25$ м/с.

1. Модуль скорости вырастет вдвое только на пути вниз: сначала монета замедлится до нуля, потом разгонится вниз до $4$ м/с.
2. Удобнее одной формулой: ось вверх, $v_y = v_0 - gt = -4$ м/с, откуда $t = \dfrac{v_0 + 4}{g} = \dfrac{6}{10}$.
3. $t = 0{,}6$ с. Подъём занял $0{,}2$ с, разгон вниз — $0{,}4$ с.

1. График А — убывающая прямая, проходящая через нуль: так меняется проекция скорости, $v_y = v_0 - gt$. Это 2.
2. График Б — горизонталь ниже оси: постоянная отрицательная величина — проекция ускорения, $a_y = -g$. Это 3.
3. Координата — парабола, а модуль импульса $mv$ сначала убывает до нуля, потом растёт — оба графика не прямые.

1. Время падения: $t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}} = \sqrt{\dfrac{160}{10}} = 4$ с.
2. За первые $3$ с тело пролетит $\dfrac{g \cdot 3^2}{2} = 45$ м.
3. За последнюю секунду: $80 - 45 = 35$ м. Проверка по $1 : 3 : 5 : 7$: $5 \cdot 7 = 35$ м.

• Свободное падение — движение только под действием силы тяжести; все тела падают с одним ускорением $g$.
• $g \approx 9{,}8$ м/с², в ЕГЭ — $10$ м/с²; направлено вниз.
• Без начальной скорости: $v = gt$, $h = \dfrac{gt^2}{2}$, $v = \sqrt{2gh}$.
• Бросок вверх: $t_{\text{под}} = \dfrac{v_0}{g}$, $h_{\max} = \dfrac{v_0^2}{2g}$; вверх и вниз — симметрично.
• В высшей точке $v = 0$, но $a = g$.