Ускорение. Равноускоренное движение

Скорость тела меняется: за время $\Delta t$ она стала $\vec{v}_2$ вместо $\vec{v}_1$. Её изменение $\Delta\vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$ — вектор, его строят вычитанием векторов.

Среднее ускорение — отношение изменения скорости к промежутку времени, за который оно произошло:

Уменьшая промежуток $\Delta t$, получаем предел — мгновенное ускорение, или просто ускорение:

• скорость направлена по касательной к траектории, а ускорение — как изменение скорости $\Delta\vec{v}$ за малое время;
• поэтому ускорение может составлять со скоростью любой угол;
• при прямолинейном движении ускорение направлено либо по скорости (тело разгоняется), либо против неё (тормозит).

Движение называют равноускоренным, если ускорение постоянно и по модулю, и по направлению. Тогда изменение скорости за любые равные промежутки одинаково, и при $t_0 = 0$

• $v_x$ и $a_x$ одного знака — модуль скорости растёт (разгон);
• разных знаков — модуль скорости уменьшается (торможение), а если торможение не прервать, тело остановится и поедет назад;
• слово «равнозамедленное» в задачах — то же равноускоренное движение с $a_x$, противоположным $v_x$.

Часто время не дано и не спрошено. Выразим $t = \dfrac{v_x - v_{0x}}{a_x}$ и подставим в $\Delta x$:

• разгон с места до скорости $v$ на пути $s$: $v^2 = 2as$;
• тормозной путь до остановки: $s = \dfrac{v_0^2}{2a}$ — при вдвое большей скорости он вчетверо длиннее;
• ещё одна полезная форма: $\Delta x = \dfrac{v_{0x} + v_x}{2}\,t$ — средняя скорость равноускоренного движения равна полусумме начальной и конечной.

Тело начинает разгон с места: $s(t) = \dfrac{at^2}{2}$. Пути за первую, вторую, третью секунды:

Формулы для $x$ дают положение тела, но не путь. Если тело тормозит до остановки и едет обратно, путь считают по участкам.

• найти момент остановки: $v_x = 0$, $t_{\text{ост}} = -\dfrac{v_{0x}}{a_x}$;
• путь до остановки и путь после неё сложить, каждый по модулю;
• пример: $v_0 = 10$ м/с, $a = -2$ м/с², $t = 8$ с. Остановка при $5$ с, путь до неё $25$ м, за следующие $3$ с назад $9$ м. Путь $34$ м, а координата $x = 80 - 64 = 16$ м.

1. Направление не менялось — путь равен модулю перемещения.
2. Средняя скорость равноускоренного движения — полусумма начальной и конечной: $\dfrac{4 + 5}{2} = 4{,}5$ м/с.
3. $s = 4{,}5 \cdot 2 = 9$ м. Так же даёт формула без времени: $a = 0{,}5$ м/с², $s = \dfrac{25 - 16}{2 \cdot 0{,}5} = 9$ м.

1. Время не дано — формула без времени: $v^2 - v_0^2 = 2as$.
2. $a = \dfrac{v^2 - v_0^2}{2s} = \dfrac{100 - 25}{50} = 1{,}5$ м/с².

1. Вернуться можно, только если ускорение направлено против начальной скорости: тело тормозит, останавливается и едет назад.
2. Возвращение: $\Delta x = v_0 t - \dfrac{at^2}{2} = 0$, откуда $v_0 = \dfrac{at}{2}$.
3. $v_0 = \dfrac{4 \cdot 6}{2} = 12$ м/с. Половину времени, $3$ с, тело ехало вперёд, половину — назад.

1. Без начальной скорости $l = \dfrac{a\tau^2}{2}$, откуда $a = \dfrac{2l}{\tau^2} = \dfrac{1{,}2}{0{,}000016} = 75\,000$ м/с².
2. Скорость вылета $v = a\tau = 75\,000 \cdot 0{,}004 = 300$ м/с.
3. Проверка через среднюю скорость: $\dfrac{0 + 300}{2} \cdot 0{,}004 = 0{,}6$ м — длина ствола.

• $\vec{a} = \dfrac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$; равноускоренное движение — $\vec{a} = \text{const}$.
• $v_x = v_{0x} + a_x t$, $x = x_0 + v_{0x}t + \dfrac{a_xt^2}{2}$.
• Без времени: $v_x^2 - v_{0x}^2 = 2a_x\Delta x$; через среднюю: $\Delta x = \dfrac{v_{0x} + v_x}{2}t$.
• Знаки $v_x$ и $a_x$ одинаковы — разгон, разные — торможение.
• При развороте путь считают по участкам до и после остановки.