Синус, косинус и тангенс острого угла

Нарисуем два прямоугольных треугольника с одинаковым острым углом $\alpha$, один крупнее другого. Два угла у них равны ($90^\circ$ и $\alpha$), значит, треугольники подобны.

У подобных треугольников стороны пропорциональны: если большой треугольник в $k$ раз крупнее, то и $a$, и $c$ у него в $k$ раз больше. Отношение $\dfrac{a}{c}$ при этом не меняется.

Поэтому синус, косинус и тангенс — это числа, которые зависят только от угла, а не от размеров треугольника. Можно говорить «синус тридцати градусов», не уточняя, какой треугольник.

Каждая формула связывает три величины: если две известны, третья находится.

Если неизвестна сторона в числителе — умножаем: $a = c\cdot\sin\alpha$, $b = c\cdot\cos\alpha$, $a = b\cdot \operatorname{tg}\,\alpha$.

Если неизвестна сторона в знаменателе — делим: $c = \dfrac{a}{\sin\alpha}$, $b = \dfrac{a}{\operatorname{tg}\,\alpha}$.

Перед вычислением всегда ищем глазами: какой угол дан, какой катет ему противолежит, а какой прилежит.

1. Угол $C$ прямой, значит, $AB$ — гипотенуза, $BC$ и $AC$ — катеты.
2. Для угла $A$ катет $BC$ противолежащий (он не касается вершины $A$), катет $AC$ прилежащий.
3. Тангенс — противолежащий катет на прилежащий: $\operatorname{tg}\,A = \dfrac{BC}{AC}$.
4. Подставляем: $1{,}5 = \dfrac{12}{AC}$, откуда $AC = \dfrac{12}{1{,}5} = 8$.

1. Здесь прямой угол при вершине $A$, значит, гипотенуза — сторона $BC$, напротив прямого угла.
2. Для угла $B$ противолежащий катет — $AC$.
3. $\sin B = \dfrac{AC}{BC}$, то есть $0{,}3 = \dfrac{6}{BC}$.
4. $BC = \dfrac{6}{0{,}3} = 20$.

1. Для угла $A$: $BC$ — противолежащий катет, $AC$ — прилежащий.
2. $\operatorname{tg}\,A = \dfrac{BC}{AC}$, поэтому $BC = AC\cdot \operatorname{tg}\,A = 20\cdot 0{,}6 = 12$.

• Синус, косинус и тангенс острого угла — отношения сторон прямоугольного треугольника.
• $\sin$ — противолежащий на гипотенузу, $\cos$ — прилежащий на гипотенузу, $\operatorname{tg}$ — противолежащий на прилежащий.
• Значения зависят только от угла: подобные треугольники дают одни и те же отношения.
• В задаче сначала определяем гипотенузу и какой катет к какому углу относится.