Выражения · 10 класс · урок 2 из 9 · Атанасян, «Геометрия 7–9», гл. VII § 4 и гл. XI § 1; Никольский, «Алгебра и начала анализа 10», § 7–9, Атанасян, гл. VII § 4

Табличные значения: откуда берутся 30°, 45° и 60°

Выход к заданиям: ЕГЭ №1, ЕГЭ №8, ЕГЭ №14

Сначала нужно знать: Синус, косинус и тангенс острого угла; теорема Пифагора
Зачем этот урок: ОГЭ №15, №23; ЕГЭ №1, №8; без них не решить ни одну тригонометрическую задачу
Дальше: Основное тригонометрическое тождество

Тригонометрические формулы · урок 2

Табличные значения

Не заучиваем — выводим из двух треугольников

Угол 45°: равнобедренный прямоугольный треугольник

Если острый угол $45^\circ$ , второй острый угол тоже $45^\circ$ (сумма углов треугольника $180^\circ$ ). Значит, треугольник равнобедренный: катеты равны.

Возьмём катеты по $1$ . По теореме Пифагора гипотенуза $c = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ .

Отсюда $\sin 45^\circ = \dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$ , $\cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt2}{2}$ , $\operatorname{tg}\,45^\circ = \dfrac{1}{1} = 1$ .

Углы 30° и 60°: половина равностороннего треугольника

Возьмём равносторонний треугольник со стороной $2$ : все углы по $60^\circ$ . Проведём высоту — она делит его на два одинаковых прямоугольных треугольника.

В половинке: гипотенуза $2$ , нижний катет $1$ (половина стороны), углы $60^\circ$ и $30^\circ$ .

Высоту найдём по теореме Пифагора: $\sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt3$ .

Считаем по половинке

Для угла $30^\circ$ противолежащий катет $1$ , прилежащий $\sqrt3$ :

$\sin 30^\circ = \dfrac12$ , $\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt3}{2}$ , $\operatorname{tg}\,30^\circ = \dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac{\sqrt3}{3}$ .

Для угла $60^\circ$ катеты меняются ролями:

$\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt3}{2}$ , $\cos 60^\circ = \dfrac12$ , $\operatorname{tg}\,60^\circ = \sqrt3$ .

Таблица — итог двух рисунков

	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$
$\sin$	$\dfrac12$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$
$\cos$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac12$
$\operatorname{tg}$	$\dfrac{\sqrt3}{3}$	$1$	$\sqrt3$

Заметьте: синус растёт от $\dfrac12$ до $\dfrac{\sqrt3}{2}$ , косинус убывает в обратном порядке. $\sin 30^\circ = \cos 60^\circ$ и $\sin 60^\circ = \cos 30^\circ$ — это один и тот же катет, просто для разных углов.

Забыли значение — рисуем половину равностороннего треугольника или квадрат с диагональю и считаем заново. Это 20 секунд.

Свойство угла 30°

Из того же рисунка: катет, лежащий напротив угла $30^\circ$ , равен половине гипотенузы ( $1$ против $2$ ).

Это не отдельный факт для заучивания, а то же самое $\sin 30^\circ = \dfrac12$ , записанное словами. В задачах ОГЭ оно встречается постоянно.

ОГЭ, задание 15Пример 1

Площадь прямоугольного треугольника равна

512\sqrt3

. Один из острых углов равен

30^\circ

. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.

Обозначим катет напротив угла $30^\circ$ через $x$ . Второй катет прилежит к углу $30^\circ$ , и $\operatorname{tg}\,30^\circ = \dfrac{x}{\text{второй катет}}$ .
Отсюда второй катет $= \dfrac{x}{\operatorname{tg}\,30^\circ} = \dfrac{x}{1/\sqrt3} = x\sqrt3$ .
Площадь прямоугольного треугольника — половина произведения катетов: $\dfrac12\cdot x\cdot x\sqrt3 = 512\sqrt3$ .
$x^2 = 1024$ , $x = 32$ .

Ответ: 32

ОГЭ, задание 15Пример 2

Площадь прямоугольного треугольника равна

200\sqrt3

. Один из острых углов равен

30^\circ

. Найдите длину гипотенузы.

Как в прошлом примере: катет напротив $30^\circ$ обозначим $x$ , тогда второй катет равен $x\sqrt3$ .
$\dfrac12\cdot x\cdot x\sqrt3 = 200\sqrt3$ , значит $x^2 = 400$ , $x = 20$ .
Катет напротив $30^\circ$ — половина гипотенузы, поэтому гипотенуза $= 2\cdot 20 = 40$ .

Ответ: 40

Главное

$45^\circ$ — из квадрата: катеты $1$ и $1$ , гипотенуза $\sqrt2$ .
$30^\circ$ и $60^\circ$ — из половины равностороннего треугольника: катеты $1$ и $\sqrt3$ , гипотенуза $2$ .
Катет напротив $30^\circ$ равен половине гипотенузы.
Таблицу не зубрим — восстанавливаем по двум рисункам.

Табличные значения: откуда берутся 30°, 45° и 60°

Все уроки станции «Тригонометрические формулы»