Выражения · 10 класс · урок 5 из 9 · Атанасян, «Геометрия 7–9», гл. VII § 4 и гл. XI § 1; Никольский, «Алгебра и начала анализа 10», § 7–9, Никольский 10, п. 7.2

Радианная мера угла

Выход к заданиям: ЕГЭ №1, ЕГЭ №8, ЕГЭ №14

Сначала нужно знать: Единичная окружность, длина окружности
Зачем этот урок: ЕГЭ №8, №12, №14 — углы в заданиях даны в радианах
Дальше: Тригонометрические функции и уравнения

Тригонометрические формулы · урок 5

Радианы

Вторая единица измерения углов

Что такое радиан

Градус — договорённость: полный оборот поделили на $360$ частей.

Радиан — мера, связанная с самой окружностью: угол в один радиан опирается на дугу, длина которой равна радиусу.

Длина всей окружности $2\pi r$ , то есть в ней $2\pi$ радиусов. Поэтому полный оборот — это $2\pi$ радиан.

360^\circ = 2\pi, \qquad 180^\circ = \pi

Перевод туда и обратно

Главное равенство $180^\circ = \pi$ . Из него:

1^\circ = \dfrac{\pi}{180}, \qquad \alpha^\circ = \dfrac{\pi\alpha}{180}

$30^\circ = \dfrac{\pi}{6}$ , $45^\circ = \dfrac{\pi}{4}$ , $60^\circ = \dfrac{\pi}{3}$ , $90^\circ = \dfrac{\pi}{2}$ .
$120^\circ = \dfrac{2\pi}{3}$ , $135^\circ = \dfrac{3\pi}{4}$ , $150^\circ = \dfrac{5\pi}{6}$ , $270^\circ = \dfrac{3\pi}{2}$ .
Обратно: подставляем $\pi = 180^\circ$ . Например, $\dfrac{5\pi}{12} = \dfrac{5\cdot180^\circ}{12} = 75^\circ$ .
Запись $0{,}5\pi$ и $1{,}5\pi$ из прошлых задач — это $90^\circ$ и $270^\circ$ .

Полный оборот ничего не меняет

Если повернуть радиус на угол $\alpha$ , а потом ещё на полный оборот, точка вернётся на то же место.

Поэтому $\sin(\alpha + 2\pi) = \sin\alpha$ и $\cos(\alpha + 2\pi) = \cos\alpha$ . То же для любого числа полных оборотов: $\alpha + 2\pi k$ .

Говорят, что синус и косинус периодичны с периодом $2\pi$ ( $360^\circ$ ).

ЕГЭ, задание 8Пример 1

Найдите значение выражения

6\sqrt3\,\operatorname{tg}\,\dfrac{\pi}{6}\,\sin\dfrac{\pi}{6}

$\dfrac{\pi}{6} = 30^\circ$ . По таблице $\operatorname{tg}\,30^\circ = \dfrac{\sqrt3}{3}$ , $\sin 30^\circ = \dfrac12$ .
$6\sqrt3\cdot\dfrac{\sqrt3}{3}\cdot\dfrac12 = \dfrac{6\cdot 3}{6} = 3$ .

Ответ: 3

ЕГЭ, задание 8Пример 2

Найдите значение выражения

\dfrac{-8\sin 422^\circ}{\sin 62^\circ}

$422^\circ = 360^\circ + 62^\circ$ — это угол $62^\circ$ плюс полный оборот.
Поэтому $\sin 422^\circ = \sin 62^\circ$ .
$\dfrac{-8\sin 62^\circ}{\sin 62^\circ} = -8$ .

Ответ: −8

Главное

$180^\circ = \pi$ — из этого равенства получается любой перевод.
Табличные углы: $\dfrac{\pi}{6}$ , $\dfrac{\pi}{4}$ , $\dfrac{\pi}{3}$ , $\dfrac{\pi}{2}$ .
Полный оборот $2\pi$ не меняет синус и косинус.

Радианная мера угла

Все уроки станции «Тригонометрические формулы»