Выражения · 10 класс · урок 9 из 9 · Атанасян, «Геометрия 7–9», гл. VII § 4 и гл. XI § 1; Никольский, «Алгебра и начала анализа 10», § 7–9, Никольский 10, п. 9.5
Двойные углы. Понижение степени Выход к заданиям: ЕГЭ №1 , ЕГЭ №8 , ЕГЭ №14
Сначала нужно знать Формулы сложения, основное тождество Зачем этот урок ЕГЭ №8 — самый частый тип; ЕГЭ №14 Дальше Тригонометрические уравнения (ЕГЭ №14) Тригонометрические формулы · урок 9
Формулы двойного угла
Формулы сложения при β = α
Выводим Положим в формулах сложения β = α \beta = \alpha β = α :
Это не новые формулы, а частный случай sin ( α + α ) \sin(\alpha + \alpha) sin ( α + α ) и cos ( α + α ) \cos(\alpha + \alpha) cos ( α + α ) . Три записи косинуса двойного угла Заменим в cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α одну функцию через тождество:
Дан косинус — берём 2 cos 2 α − 1 2\cos^2\alpha - 1 2 cos 2 α − 1 . Дан синус — берём 1 − 2 sin 2 α 1 - 2\sin^2\alpha 1 − 2 sin 2 α . Знак угла при этом не нужен: квадрат убирает его. Понижение степени Выразим квадраты из двух последних формул:
Квадрат синуса или косинуса заменяется косинусом двойного угла. Это нужно в уравнениях ЕГЭ №14.
ЕГЭ, задание 8 Пример 1
Найдите 11 cos 2 α 11\cos 2\alpha 11 cos 2 α , если cos α = 0,6 \cos\alpha = 0{,}6 cos α = 0 , 6 . Дан косинус: cos 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 2 ⋅ 0,36 − 1 = − 0,28 \cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 2\cdot 0{,}36 - 1 = -0{,}28 cos 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 2 ⋅ 0 , 36 − 1 = − 0 , 28 . 11 ⋅ ( − 0,28 ) = − 3,08 11\cdot(-0{,}28) = -3{,}08 11 ⋅ ( − 0 , 28 ) = − 3 , 08 . Ответ: −3,08
ЕГЭ, задание 8 Пример 2
Найдите значение выражения 6 cos 2 α 6\cos 2\alpha 6 cos 2 α , если sin α = − 0,8 \sin\alpha = -0{,}8 sin α = − 0 , 8 . Дан синус: cos 2 α = 1 − 2 sin 2 α = 1 − 2 ⋅ 0,64 = − 0,28 \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 1 - 2\cdot 0{,}64 = -0{,}28 cos 2 α = 1 − 2 sin 2 α = 1 − 2 ⋅ 0 , 64 = − 0 , 28 . 6 ⋅ ( − 0,28 ) = − 1,68 6\cdot(-0{,}28) = -1{,}68 6 ⋅ ( − 0 , 28 ) = − 1 , 68 . Ответ: −1,68
ЕГЭ, задание 8 Пример 3
Найдите значение выражения 8 sin 5 π 12 cos 5 π 12 8\sin\dfrac{5\pi}{12}\cos\dfrac{5\pi}{12} 8 sin 12 5 π cos 12 5 π . 2 sin x cos x = sin 2 x 2\sin x\cos x = \sin 2x 2 sin x cos x = sin 2 x , поэтому 8 sin x cos x = 4 sin 2 x 8\sin x\cos x = 4\sin 2x 8 sin x cos x = 4 sin 2 x . 4 sin 10 π 12 = 4 sin 5 π 6 = 4 sin 150 ∘ 4\sin\dfrac{10\pi}{12} = 4\sin\dfrac{5\pi}{6} = 4\sin 150^\circ 4 sin 12 10 π = 4 sin 6 5 π = 4 sin 15 0 ∘ . sin 150 ∘ = sin ( 180 ∘ − 30 ∘ ) = sin 30 ∘ = 1 2 \sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \dfrac12 sin 15 0 ∘ = sin ( 18 0 ∘ − 3 0 ∘ ) = sin 3 0 ∘ = 2 1 , итог 4 ⋅ 1 2 = 2 4\cdot\dfrac12 = 2 4 ⋅ 2 1 = 2 . Ответ: 2
ЕГЭ, задание 8 Пример 4
Найдите 3 sin 6 α 5 cos 3 α \dfrac{3\sin 6\alpha}{5\cos 3\alpha} 5 cos 3 α 3 sin 6 α , если sin 3 α = − 0,5 \sin 3\alpha = -0{,}5 sin 3 α = − 0 , 5 . 6 α 6\alpha 6 α — двойной угол для 3 α 3\alpha 3 α : sin 6 α = 2 sin 3 α cos 3 α \sin 6\alpha = 2\sin 3\alpha\cos 3\alpha sin 6 α = 2 sin 3 α cos 3 α . 3 ⋅ 2 sin 3 α cos 3 α 5 cos 3 α = 6 sin 3 α 5 = 6 ⋅ ( − 0,5 ) 5 = − 0,6 \dfrac{3\cdot 2\sin 3\alpha\cos 3\alpha}{5\cos 3\alpha} = \dfrac{6\sin 3\alpha}{5} = \dfrac{6\cdot(-0{,}5)}{5} = -0{,}6 5 cos 3 α 3 ⋅ 2 sin 3 α cos 3 α = 5 6 sin 3 α = 5 6 ⋅ ( − 0 , 5 ) = − 0 , 6 . Ответ: −0,6
ЕГЭ, задание 8 Пример 5
Найдите значение выражения 28 ( sin 2 47 ∘ − cos 2 47 ∘ ) cos 94 ∘ \dfrac{28(\sin^2 47^\circ - \cos^2 47^\circ)}{\cos 94^\circ} cos 9 4 ∘ 28 ( sin 2 4 7 ∘ − cos 2 4 7 ∘ ) . sin 2 47 ∘ − cos 2 47 ∘ = − ( cos 2 47 ∘ − sin 2 47 ∘ ) = − cos 94 ∘ \sin^2 47^\circ - \cos^2 47^\circ = -(\cos^2 47^\circ - \sin^2 47^\circ) = -\cos 94^\circ sin 2 4 7 ∘ − cos 2 4 7 ∘ = − ( cos 2 4 7 ∘ − sin 2 4 7 ∘ ) = − cos 9 4 ∘ . 28 ⋅ ( − cos 94 ∘ ) cos 94 ∘ = − 28 \dfrac{28\cdot(-\cos 94^\circ)}{\cos 94^\circ} = -28 cos 9 4 ∘ 28 ⋅ ( − cos 9 4 ∘ ) = − 28 . Ответ: −28
Главное sin 2 α = 2 sin α cos α \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha sin 2 α = 2 sin α cos α ; cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α . Выбор записи косинуса двойного угла зависит от того, что дано. Понижение степени: квадрат синуса или косинуса через cos 2 α \cos 2\alpha cos 2 α . Двойной угол работает для любой пары: 6 α 6\alpha 6 α и 3 α 3\alpha 3 α , 5 π 6 \dfrac{5\pi}{6} 6 5 π и 5 π 12 \dfrac{5\pi}{12} 12 5 π . ← Формулы сложения