Единичная окружность как следствие тождества

Обозначим $x = \cos\alpha$ и $y = \sin\alpha$. Тождество превращается в $x^2 + y^2 = 1$.

Это уравнение окружности радиуса $1$ с центром в начале координат: все точки, удалённые от точки $(0;0)$ на расстояние $1$.

Значит, точка $P(\cos\alpha;\,\sin\alpha)$ всегда лежит на этой окружности. Её называют единичной.

Проведём из центра радиус под углом $\alpha$ к оси $x$ и опустим из точки $P$ перпендикуляр на ось.

Получится прямоугольный треугольник с гипотенузой $1$ (радиус). Его горизонтальный катет равен $\cos\alpha\cdot 1$, вертикальный — $\sin\alpha\cdot 1$.

То есть абсцисса точки $P$ — косинус, ордината — синус. Для острого угла это ровно прежнее определение через треугольник.

Определение через координаты работает для любого угла: поворачиваем радиус на $\alpha$ против часовой стрелки от оси $x$ и смотрим на координаты точки.

Для $120^\circ$ точка ушла влево: абсцисса отрицательная. Треугольник с осью $x$ даёт угол $60^\circ$, поэтому $\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\dfrac12$, $\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt3}{2}$.

Угол, повёрнутый по часовой стрелке, считается отрицательным.

Оси делят окружность на четыре четверти. Знак синуса — знак ординаты, знак косинуса — знак абсциссы.

I четверть ($0^\circ$–$90^\circ$): оба плюс. II ($90^\circ$–$180^\circ$): синус плюс, косинус минус.

III ($180^\circ$–$270^\circ$): оба минус. IV ($270^\circ$–$360^\circ$): синус минус, косинус плюс.

Тангенс — частное синуса и косинуса: плюс в I и III четвертях, минус во II и IV.

Углы $0^\circ$, $90^\circ$, $180^\circ$, $270^\circ$ — точки пересечения окружности с осями.

$0^\circ$: точка $(1;0)$ → $\cos 0^\circ = 1$, $\sin 0^\circ = 0$. $90^\circ$: точка $(0;1)$ → $\cos 90^\circ = 0$, $\sin 90^\circ = 1$.

$180^\circ$: точка $(-1;0)$. $270^\circ$: точка $(0;-1)$.

Отсюда видно: синус и косинус любого угла лежат от $-1$ до $1$.