Выражения · 10 класс · урок 8 из 9 · Атанасян, «Геометрия 7–9», гл. VII § 4 и гл. XI § 1; Никольский, «Алгебра и начала анализа 10», § 7–9, Никольский 10, п. 9.1, 9.3
Формулы сложения Выход к заданиям: ЕГЭ №1 , ЕГЭ №8 , ЕГЭ №14
Сначала нужно знать Единичная окружность, расстояние между точками на плоскости Зачем этот урок ЕГЭ №8; база для формул двойного угла и для ЕГЭ №14 Дальше Двойные углы, сумма и разность синусов Тригонометрические формулы · урок 8
Формулы сложения
Синус и косинус суммы двух углов
Главная формула выводится A(cos α; sin α) B(cos β; sin β)
Возьмём на единичной окружности точки A ( cos α ; sin α ) A(\cos\alpha;\,\sin\alpha) A ( cos α ; sin α ) и B ( cos β ; sin β ) B(\cos\beta;\,\sin\beta) B ( cos β ; sin β ) . Угол между радиусами O A OA O A и O B OB O B равен α − β \alpha - \beta α − β .
Квадрат расстояния A B AB A B посчитаем двумя способами: по координатам и по теореме косинусов в треугольнике O A B OAB O A B ( O A = O B = 1 OA = OB = 1 O A = O B = 1 ).
Два способа — одно расстояние По координатам: A B 2 = ( cos α − cos β ) 2 + ( sin α − sin β ) 2 = 2 − 2 ( cos α cos β + sin α sin β ) AB^2 = (\cos\alpha - \cos\beta)^2 + (\sin\alpha - \sin\beta)^2 = 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) A B 2 = ( cos α − cos β ) 2 + ( sin α − sin β ) 2 = 2 − 2 ( cos α cos β + sin α sin β ) (раскрыли скобки и дважды применили тождество).
По теореме косинусов: A B 2 = 1 + 1 − 2 cos ( α − β ) AB^2 = 1 + 1 - 2\cos(\alpha - \beta) A B 2 = 1 + 1 − 2 cos ( α − β ) .
Приравниваем правые части:
Остальные формулы — следствия Заменим β \beta β на − β -\beta − β ( cos \cos cos чётный, sin \sin sin нечётный): cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β . Синус через косинус по формуле приведения: sin ( α + β ) = cos ( π 2 − α − β ) \sin(\alpha + \beta) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha - \beta\right) sin ( α + β ) = cos ( 2 π − α − β ) , раскрываем — получаем sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β . И с минусом: sin ( α − β ) = sin α cos β − cos α sin β \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta sin ( α − β ) = sin α cos β − cos α sin β . Запоминать нужно одну формулу и её вывод; остальное получается за минуту. Новые табличные значения 15 ∘ = 45 ∘ − 30 ∘ 15^\circ = 45^\circ - 30^\circ 1 5 ∘ = 4 5 ∘ − 3 0 ∘ , 75 ∘ = 45 ∘ + 30 ∘ 75^\circ = 45^\circ + 30^\circ 7 5 ∘ = 4 5 ∘ + 3 0 ∘ . Значит:
ЕГЭ, задание 8 Пример
Найдите значение выражения − 10 cos 15 ∘ ⋅ cos 75 ∘ -10\cos 15^\circ\cdot\cos 75^\circ − 10 cos 1 5 ∘ ⋅ cos 7 5 ∘ . По формулам сложения cos 15 ∘ = 6 + 2 4 \cos 15^\circ = \dfrac{\sqrt6 + \sqrt2}{4} cos 1 5 ∘ = 4 6 + 2 , cos 75 ∘ = 6 − 2 4 \cos 75^\circ = \dfrac{\sqrt6 - \sqrt2}{4} cos 7 5 ∘ = 4 6 − 2 . Произведение — разность квадратов: ( 6 ) 2 − ( 2 ) 2 16 = 6 − 2 16 = 1 4 \dfrac{(\sqrt6)^2 - (\sqrt2)^2}{16} = \dfrac{6 - 2}{16} = \dfrac14 16 ( 6 ) 2 − ( 2 ) 2 = 16 6 − 2 = 4 1 . − 10 ⋅ 1 4 = − 2,5 -10\cdot\dfrac14 = -2{,}5 − 10 ⋅ 4 1 = − 2 , 5 . Короче через приведение: cos 75 ∘ = sin 15 ∘ \cos 75^\circ = \sin 15^\circ cos 7 5 ∘ = sin 1 5 ∘ , и cos 15 ∘ sin 15 ∘ = 1 2 sin 30 ∘ = 1 4 \cos 15^\circ\sin 15^\circ = \dfrac12\sin 30^\circ = \dfrac14 cos 1 5 ∘ sin 1 5 ∘ = 2 1 sin 3 0 ∘ = 4 1 — это формула двойного угла из следующего урока. Ответ: −2,5
Главное cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β — выводится из расстояния между точками окружности. cos ( α + β ) \cos(\alpha + \beta) cos ( α + β ) и синусы суммы и разности — следствия. Значения для 15 ∘ 15^\circ 1 5 ∘ и 75 ∘ 75^\circ 7 5 ∘ получаются из 45 ∘ ± 30 ∘ 45^\circ \pm 30^\circ 4 5 ∘ ± 3 0 ∘ . ← Формулы приведения Двойные углы. Понижение степени →