Выражения · 10 класс · урок 3 из 9 · Атанасян, «Геометрия 7–9», гл. VII § 4 и гл. XI § 1; Никольский, «Алгебра и начала анализа 10», § 7–9, Атанасян, гл. VII § 4; Никольский 10, п. 7.4
Основное тригонометрическое тождество Выход к заданиям: ЕГЭ №1 , ЕГЭ №8 , ЕГЭ №14
Сначала нужно знать Синус и косинус острого угла, теорема Пифагора, табличные значения Зачем этот урок ЕГЭ №8 (вычисление значений), ЕГЭ №14; все формулы дальше опираются на него Дальше Единичная окружность Тригонометрические формулы · урок 3
Основное тригонометрическое тождество
Теорема Пифагора, записанная через синус и косинус
Выводим из теоремы Пифагора По определению sin α = a c \sin\alpha = \dfrac{a}{c} sin α = c a и cos α = b c \cos\alpha = \dfrac{b}{c} cos α = c b . Возведём оба в квадрат и сложим:
По теореме Пифагора a 2 + b 2 = c 2 a^2 + b^2 = c^2 a 2 + b 2 = c 2 , поэтому дробь равна 1 1 1 . Тождество Тождество — равенство, верное при любом значении буквы. Здесь — при любом угле α \alpha α .
Запись sin 2 α \sin^2\alpha sin 2 α означает ( sin α ) 2 (\sin\alpha)^2 ( sin α ) 2 : в квадрат возводится синус, а не угол.
Проверим на таблице: sin 2 30 ∘ + cos 2 30 ∘ = 1 4 + 3 4 = 1 \sin^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ = \dfrac14 + \dfrac34 = 1 sin 2 3 0 ∘ + cos 2 3 0 ∘ = 4 1 + 4 3 = 1 .
Как пользоваться: знаешь одно — найдёшь другое Из тождества выражаем одну функцию через другую:
Квадрат находится однозначно. А вот при извлечении корня получаются два числа — с плюсом и с минусом. Для острого угла синус и косинус положительны (это отношения длин), поэтому берём корень с плюсом. Для произвольных углов знак определяется по единичной окружности — это следующий урок. Тангенс через синус и косинус Поделим синус на косинус: sin α cos α = a / c b / c = a b \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{a/c}{b/c} = \dfrac{a}{b} cos α sin α = b / c a / c = b a — а это и есть тангенс.
Если поделить тождество на cos 2 α \cos^2\alpha cos 2 α , получится ещё одна полезная формула: 1 + tg 2 α = 1 cos 2 α 1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha} 1 + tg 2 α = cos 2 α 1 . ЕГЭ, задание 8 Пример 1
Найдите sin α \sin\alpha sin α , если cos α = 51 10 \cos\alpha = \dfrac{\sqrt{51}}{10} cos α = 10 51 и α ∈ ( 0 ; 0,5 π ) \alpha \in (0;\,0{,}5\pi) α ∈ ( 0 ; 0 , 5 π ) . 0,5 π 0{,}5\pi 0 , 5 π — это 90 ∘ 90^\circ 9 0 ∘ (радианы разберём позже). Значит, α \alpha α — острый угол, и sin α > 0 \sin\alpha > 0 sin α > 0 . sin 2 α = 1 − cos 2 α = 1 − 51 100 = 49 100 \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \dfrac{51}{100} = \dfrac{49}{100} sin 2 α = 1 − cos 2 α = 1 − 100 51 = 100 49 . sin α = 49 100 = 7 10 = 0,7 \sin\alpha = \sqrt{\dfrac{49}{100}} = \dfrac{7}{10} = 0{,}7 sin α = 100 49 = 10 7 = 0 , 7 . Ответ: 0,7
ЕГЭ, задание 1 Пример 2
В равнобедренном треугольнике A B C ABC A B C с основанием A C AC A C боковая сторона A B AB A B равна 25 25 25 , а высота, проведённая к основанию, равна 20 20 20 . Найдите косинус угла A A A . Высота B H BH B H к основанию делит треугольник на два прямоугольных. В треугольнике A B H ABH A B H гипотенуза A B = 25 AB = 25 A B = 25 , катет B H = 20 BH = 20 B H = 20 противолежит углу A A A . sin A = B H A B = 20 25 = 0,8 \sin A = \dfrac{BH}{AB} = \dfrac{20}{25} = 0{,}8 sin A = A B B H = 25 20 = 0 , 8 . Угол A A A острый (угол при основании равнобедренного треугольника), поэтому cos A > 0 \cos A > 0 cos A > 0 : cos A = 1 − 0,64 = 0,36 = 0,6 \cos A = \sqrt{1 - 0{,}64} = \sqrt{0{,}36} = 0{,}6 cos A = 1 − 0 , 64 = 0 , 36 = 0 , 6 . Проверка через стороны: A H = 25 2 − 20 2 = 15 AH = \sqrt{25^2 - 20^2} = 15 A H = 2 5 2 − 2 0 2 = 15 , cos A = 15 25 = 0,6 \cos A = \dfrac{15}{25} = 0{,}6 cos A = 25 15 = 0 , 6 . Ответ: 0,6
Главное sin 2 α + cos 2 α = 1 \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 sin 2 α + cos 2 α = 1 — теорема Пифагора, поделённая на c 2 c^2 c 2 . По одной функции находим квадрат другой; знак корня решаем отдельно. tg α = sin α cos α \operatorname{tg}\,\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} tg α = cos α sin α , 1 + tg 2 α = 1 cos 2 α 1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha} 1 + tg 2 α = cos 2 α 1 . ← Табличные значения: откуда берутся 30°, 45° и 60° Единичная окружность как следствие тождества →