Формулы приведения

Поворот на $\dfrac{\pi}{2}$ меняет местами роли осей: что было абсциссой, становится ординатой.

Поэтому $\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha$ и $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\alpha$. В прямоугольном треугольнике это видно сразу: синус одного острого угла — косинус другого.

Так же $\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\alpha$, $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin\alpha$.

• Меняется ли функция? Если в скобке $\dfrac{\pi}{2}$ или $\dfrac{3\pi}{2}$ — синус меняется на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс. Если $\pi$ или $2\pi$ — функция остаётся.
• Какой знак? Считаем $\alpha$ острым, находим, в какой четверти лежит весь угол, и берём знак исходной функции в этой четверти.
• Полные обороты $2\pi k$ отбрасываем сразу.
• Пример: $\cos\left(\dfrac{3\pi}{2} + \alpha\right)$. Есть $\dfrac{3\pi}{2}$ — косинус меняется на синус. Угол в IV четверти, косинус там плюс. Итог: $\sin\alpha$.

1. $153^\circ = 180^\circ - 27^\circ$.
2. $\cos(180^\circ - 27^\circ) = -\cos 27^\circ$ (функция не меняется, угол во II четверти, косинус там минус).
3. $\dfrac{38\cdot(-\cos 27^\circ)}{\cos 27^\circ} = -38$.

1. $\sin(\alpha + 2\pi) = \sin\alpha$ — полный оборот.
2. $\cos\left(-\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\left(\alpha - \dfrac{\pi}{2}\right)$. Косинус чётный, поэтому это $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\alpha$.
3. $5\sin\alpha + 11\sin\alpha = 16\sin\alpha = 16\cdot 0{,}8 = 12{,}8$.

1. $\cos(\pi - \beta) = -\cos\beta$, $\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \beta\right) = \cos\beta$.
2. $\cos(\beta + 3\pi) = \cos(\beta + \pi + 2\pi) = \cos(\beta + \pi) = -\cos\beta$.
3. $\dfrac{-3\cos\beta + \cos\beta}{-\cos\beta} = \dfrac{-2\cos\beta}{-\cos\beta} = 2$.

1. По правилу $\cos\left(\dfrac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin\alpha$.
2. $\alpha$ в IV четверти, синус отрицательный: $\sin\alpha = -\sqrt{1 - \dfrac{144}{169}} = -\dfrac{5}{13}$.
3. $26\cdot\left(-\dfrac{5}{13}\right) = -10$.

1. $\dfrac{5\pi}{2} = 2\pi + \dfrac{\pi}{2}$, полный оборот отбрасываем: $\operatorname{tg}\left(\alpha + \dfrac{\pi}{2}\right)$.
2. Есть $\dfrac{\pi}{2}$ — тангенс меняется на котангенс. Угол $\dfrac{\pi}{2} + \alpha$ во II четверти, тангенс там минус: $-\operatorname{ctg}\,\alpha$.
3. $-\operatorname{ctg}\,\alpha = -\dfrac{1}{0{,}4} = -2{,}5$.

• Формулы приведения — следствие симметрии точек на единичной окружности.
• $\dfrac{\pi}{2}$ и $\dfrac{3\pi}{2}$ меняют функцию, $\pi$ и $2\pi$ — нет.
• Знак — исходной функции в той четверти, где лежит угол при остром $\alpha$.