Тангенс и котангенс

Для острого угла это прежнее «противолежащий на прилежащий». Для любого угла определение одно — через синус и косинус.

Тангенс не существует, когда $\cos\alpha = 0$: при $90^\circ$, $270^\circ$ и т. д. Котангенс — когда $\sin\alpha = 0$: при $0^\circ$, $180^\circ$ и т. д.

Котангенс — перевёрнутый тангенс: $\operatorname{tg}\,\alpha\cdot\operatorname{ctg}\,\alpha = 1$.

Частый ход ЕГЭ №8: известен $\operatorname{tg}\,\alpha$, нужно значение дроби с синусами и косинусами.

Из определения $\sin\alpha = \operatorname{tg}\,\alpha\cdot\cos\alpha$. Подставляем — и косинусы сокращаются, если каждое слагаемое содержит синус или косинус в первой степени.

Другой вариант того же — поделить числитель и знаменатель на $\cos\alpha$.

1. $\sin\alpha = \operatorname{tg}\,\alpha\cdot\cos\alpha = 0{,}2\cos\alpha$.
2. Числитель: $3\cos\alpha - 15\cdot 0{,}2\cos\alpha + 16 = 3\cos\alpha - 3\cos\alpha + 16 = 16$.
3. Знаменатель: $5\cdot 0{,}2\cos\alpha - \cos\alpha + 4 = \cos\alpha - \cos\alpha + 4 = 4$.
4. Значение: $\dfrac{16}{4} = 4$.

1. Во II четверти косинус отрицателен: $\cos\alpha = -\sqrt{1 - \dfrac{25}{41}} = -\dfrac{4}{\sqrt{41}}$.
2. $\operatorname{tg}\,\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\dfrac54 = -1{,}25$.
3. Проверка знака: во II четверти тангенс отрицателен — сходится.

• $\operatorname{tg} = \dfrac{\sin}{\cos}$, $\operatorname{ctg} = \dfrac{\cos}{\sin}$, $\operatorname{tg}\cdot\operatorname{ctg} = 1$.
• Знаки: плюс в I и III четвертях.
• Дан тангенс — выражаем синус через косинус или делим на $\cos\alpha$.